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Harmonielehre in Halbtonschritten

Intervalle

Intervalle sind Tonhöhenabstände, häufig dargestellt als zwei Töne, von denen aber nur der "Höhenunterschied" von Interesse ist. Rechts sehen Sie eine Quinte von g' nach d''.

Umrechnung

Halb­ton­schrit­teIntervall­bezeichnungFV[1]latei­nisches Zahlwort
0reine Prime1:11. primus (der Erste)
1kleine Sekunde16:152. secundus
2große Sekunde9:8
3kleine Terz6:53. tertius
4große Terz5:4
5(reine) Quarte4:34. quartus
6 Tritonus
7(reine) Quinte3:25. quintus
8kleine Sexte8:56. sextus
9große Sexte5:3
10kleine Septime9:57. septimus
11große Septime15:8 
12reine Oktave2:18. octavus
13kleine None32:159. nonus
14große None9:4
15kleine Dezime12:5 10. decimus
16große Dezime5:2
17(reine) Undezime8:311. undecimus
! 19(reine) Duodezime3:112. duodecimus
! 24reine Quintdezime4:115. quintus decimus

[↑] 1FV: Frequenzverhältnis in der reinen Stimmung; in der üblicheren gleichstufigen Stimmung ist es immer 2Halbtonschritte∕12:1.

Nummerierung: rein, klein oder groß ...

Intervalle außen, Durtonleiter innen.

Die Intervall­nummern (der Erste...) leiten sich von den Stufen­nummern der Durtonleiter ab: Die vom Grundton aus vermessenen Stufen sind genau reine und große Intervalle. Die kleinen Intervalle wurden also nur zum Auffüllen gebraucht.

findenIn der Web-App sind die Intervalle deshalb bei den Tonleitern versteckt.

... vermindert oder übermäßig?

Vergrößert man ein Intervall um einen Halbtonschritt, heißt es übermäßig;
verkleinert man es um einen Halbtonschritt, heißt es vermindert.

Vier Halbtonschritte = zwei Ganztonschritte = große Terz = übermäßige kleine Terz = verminderte Quarte

Bei anderen als der gleichstufigen Stimmung gibt es dazwischen aber noch feine, verhasste Unterschiede (diverse Intervalle mit Namen "Komma").

(reine) Intervalle

rein kann bei Intervallen zweierlei bedeuten: Das Intervall ist ...

  • weder vermindert noch übermäßig
  • zusätzlich ein besonders einfaches Frequenzverhältnis

Einfache Frequenzverhältnisse

Das menschliche Gehör erkennt es, wenn in derselben Zeitdauer ein Ton (z. B. g') genau zweimal schwingt, während ein anderer (d'') genau dreimal schwingt. Hier liegt das Frequenzverhältnis 3:2 vor, eine reine Quinte.

Das allereinfachste Frequenzverhältnis ist 1:1, die Prime, also zwei identische Töne (a' und nochmal a').

Das danach einfachste Frequenzverhältnis ist 2:1, die Oktave. Töne, die sich um eine Oktave unterscheiden, sind einander so verwandt, dass sie denselben Buchstaben tragen (a' und a'').

Wenn Sie die reinen Intervalle betrachten, sehen Sie, wie nah die Quinte (3:2) und die Quarte (4:3) den außen eingezeichneten Tönen kommen. Je näher, desto reiner klingt es, wenn man das Intervall mit den äußeren Tonen annähert.

ausprobierenHalten Sie einen Ton des Intervalls bei gleichzeitiger Variation des zweiten, um Intervalle in der Webapp zu hören. Nahe der Prime (bei zwei fast gleich hohen Tönen) ist ein langsames Wabern zu hören, eine sog. Schwebung.
Nähern Sie beide Töne von rechts, da dort oben der Sprung von Oktave zu Prime ist.

Bei Sägezahn-Schwingung ergeben sich, da sie alle Oberschwingungen enthält, leichte Schwebungen sogar nahe von anderen reinen Intervallen.

Rechnen mit Frequenzverhältnissen

Beim Aufeinandersetzen von Intervallen multipliziert man die Frequenzverhältnisse, also Brüche, miteinander.

Der Ganzton (9:8, große Sekunde) ist genau der Unterschied zwischen Quarte (4:3) und Quinte (3:2):
Quarte + Ganzton = Quinte
4:3 × 9:8 = 3:2

Quarte und Quinte sind zueinander komplementäre Intervalle, sie ergeben also zusammen die Oktave; in der Notenscheibe sehen sie gleich groß aus:
Quarte + Quinte = Oktave
4:3 × 3:2 = 2:1

Zwölfteilung der Oktave

Zwölf Halbtonschritte müssen eine Oktave (2:1) ergeben. Gesucht ist also eine Zahl, die zwölfmal mit sich selbst multipliziert 2 ergibt... 12√2.

An einer Gitarre erklärt (die Saitenlänge wird halbiert, um die Frequenz zu verdoppeln):

Schrumpft man eine Gitarre der Länge nach, sodass der Steg bei Original und Schrumpfbild übereinstimmen und der Schrumpf-Sattel mit dem ersten Original-Bund zusammenfällt, dann stimmen alle übrigen Bünde (um einen Bund versetzt) überein. Das passiert genau bei einer Verkleinerung um die zwölfte Wurzel aus zwei. Führt man zwölf solche Verkleinerungsoperationen aus, so ist das Endergebnis genau halb so groß wie die Originalgitarre, also halbiert der zwölfte Bund die Saiten genau.

Durch Greifen des jeweils nächsten Bundes (im Bild: einen weiter unten) verkürzt man die Saite und der Ton wird einen Halbtonschritt höher.

Beim Schrumpfen bleibt die Bundanordnung scheinbar gleich: sie ist selbstähnlich. Dadurch bleiben die Längenverhältnisse und das Freqenzverhältnis bei jedem Halbtonschritt (Schrumpfvorgang) gleich, während die Bünde immer enger werden.

Generell kann man an der Gitarre die Frequenzverhältnisse reziprok als Längenverhältnisse ablesen:

Der siebte Bund (Quinte, 3:2) lässt noch ⅔ der Saitenlänge übrig.

Tritonus

Der Tritonus (d.h. etwa "drei Töne", gemeint sind Ganztonschritte) hat ein Frequenzverhältnis von √2:1 und ist komplementär zu sich selbst:
Tritonus + Tritonus = Oktave
√2:1 × √2:1 = 2:1
Die Wurzel aus Zwei ist dafür bekannt, nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellbar zu sein, ist also keineswegs ein einfaches Frequenzverhältnis, und damit ist der Tritonus unrein. Man nennt ihn auch Teufelsintervall...